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淺談轉化思想在中學數學解題中的應用

【數學教師論文】【摘 要】數學是一門邏輯性較強的學科,對于數學的學習,基礎知識的熟練掌握固然重要,但數學思想方法的學習也不能忽視。數學思想方法對于數學的學習非常重要,它是我們學習數學的“工具”。而轉化思想是中學數學中最基本的思想方法之一,它貫穿于中學數學解題的始終。論文將轉化思想的含義、在中學數學中的地位、在中學數學解題中的應用作簡單的闡述,以其引起教育工作者的共識。
【關鍵詞】中學數學;轉化思想;數學問題
大家熟知的轉化思想,就是人們在解決和處理有些數學問題時用某些技巧把問題通過變換,得到解決的一種方法。一般總是將陌生的問題通過轉化, 成為已經知道的問題;將不容易理解的問題通過轉化,成為容易理解的問題;將不好解決的問題通過轉化,成為容易解決的問題;把模糊不清的問題通過轉化,成為清晰的問題。
在高考中,轉化思想仍處在特別重要的位置。數學問題的研究解決,沒有轉化思想的幫助會處于癱瘓狀態,會覺得少了一個得力的助手,也會增加很多不可避免的麻煩。論文針對其中重要的幾個方面做一下簡單論述。
一、轉化思想在中學代數中的應用
在中學代數中,轉化思想被運用到解題中的例子數不勝數,在解決代數問題過程中,有時會用到等價轉化,有時也會用到非等價轉化。等價轉化思想要求在解題過程中前面既是后面的充分條件又是后面的必要條件,這樣可以保證在解題過程中同解。例如解方程問題,方程的類型雖然不同,但解法卻不盡相同,基本都是利用降次法將高次方程轉化為低次方程,利用消元法將多元方程轉化為一元方程,或者是利用轉化思想將不好求解的分式方程化為整式方程等,這些都體現了等價轉化思想。等價轉化思想在解決問題過程中既要周全的考慮其限制因素,又要顧及到它們之間的的聯系。如不等式恒成立問題中求參數的取值范圍這類問題,通常用以下兩種方法解決:一種方法是大家經常使用的分離參數求最值的問題,如要使a≥g(x)恒成立,只需a≥g(x)max,從而轉化為求g(x)的最大值問題。另一種方法是當題中參數不容易分離出來時,可以直接建立關于參數的不等式求最值問題求解,比如要使不等式f(x)≥0恒成立,可轉化為f(x)min≥0,進而轉化為求f(x)的最小值h(a)≥0,求出參數的取值范圍。代數問題中的非等價轉化思想,要求在解題過程中找到使原命題成立的充分條件即可。例如不等式中的放縮法,這是不等價轉化的一個典例,通過轉化可以大大簡化推理證明的過程。
二、轉化思想在幾何中的應用
中學數學中研究的幾何問題是從簡單平面圖形的性質入手,把復雜的幾何問題都轉化為簡單的圖形問題來解決。例如將三維空間問題轉化為二維空間問題,將二維空間問題轉化為平面圖形問題,最后將復雜的平面圖形問題轉化為簡單的平面圖形問題。大家熟知中學幾何中的面面垂直問題轉化為線面垂直問題,線面垂直問題轉化為線線垂直問題,都要運用轉化思想。
轉化思想在解析幾何的創立過程中功不可沒。在解析幾何中轉化思想把空間圖形和數量關系緊密的聯系到一起,使空間圖形問題可以轉化為數量關系,也可以把數量關系轉化為空間圖形問題,用兩者各自的特點來研究和解決另一類問題。轉化思想在解析幾何中還體現在概念、定理及公式中。
三、轉化思想在三角問題中的應用
轉化思想在三角問題中的應用也比較多,在熟記公式的基礎上,運用轉化思想可以提高學生的運算能力和思維能力達到事倍功半的效果。例如,化簡cos(α+β+γ)+cos(α+β-γ),只要抓住α+β+γ=(α+β)+γ,α+β-γ=(α+β)-γ,就可以轉化為兩角和與差的余弦公式, 達到化簡的目的; 又如,計算tan20o+tan40o+ tan20otan40o的值,可以抓住20o+40o=60o的關系,轉化為利用兩角和的正切公式展開tan(20o+40o),進而求解。
四、轉化思想在計數與概率問題中的應用
有些計數問題需要分多種情況進行討論,問題的解決過程比較復雜,這時我們可以將多向思維計數問題轉化為單一思維計數問題,例如我們熟悉常用的隔板法。還有些計數與概率問題直接求解限制因素太多,無從下手時,可以把問題轉化為幾何模型問題來研究,這樣問題就變得簡單了許多。例如我們處理概率問題中常見的送賀卡的問題:4名同學每人寫一張賀卡,放到同一個盒子里,然后每個人從盒子中取出一張,求拿到別人送出的賀卡的概率。直接處理的話會有一定難度,可以轉化為幾何模型問題化抽象問題為直觀,使問題的解法更易被理解接受。由對立事件的定義可知,事件A和事件B互為對立事件,則P(A)=1-P(B),當我們解決概率問題時所求的問題比較復雜,可將問題轉化到對立問題上去,從而快速的解決問題。例如,袋中裝有紅、黃、白3種顏色的球各1只,從中每次任取一只,有放回的抽取3次,求3只球顏色不全相同概率的問題。我們通過分析知道“3只球顏色不全相同”包含類型比較多,而其對立事件“3只球顏色全相同”卻比較簡單,所以用對立事件的概率方式求解較容易。
總之, 轉化思想是中學數學解題中重要的、基本的思想方法之一,通過轉化使許多問題化難為易。轉化思想滲透在每個教學環節當中,教師在教學過程中要不斷對學生滲透轉化思想,不僅可以使學生的思路得到拓寬,還可以使學生的學習興趣,分析問題和解決問題的能力得到提高,培養學生多角度考慮問題,形成科學的思維習慣,掌握正確的思維方法,從而使學生的思維品質得到優化。
【參考文獻】
[1]劉俊,付本路,姚玉平.初等數學解題方法教學研究[M].東營:中國石油大學出版社,2010:245-249;235-237
[2]高中偉.滲透數學思想方法、優化數學認識結構[J].中學數學雜志(高中版),2005(7):11-14
【作者簡介】
張麗娜,女,吉林長嶺,吉林師范大學數學學院研究生,研究方向:學科教學(數學)。
(作者單位:吉林師范大學數學學院
吉林省扶余市第三中學)

 
 
 
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